Bepaling van soortelijke warmte van water

Introductie¶

Water heeft een enorme buffercapaciteit: je moet veel energie toevoegen om de temperatuur van water een graad te verwarmen. In dit practicum gaan we de soortelijke warmte van water bepalen door een bekende hoeveelheid water te verwarmen met een bekende hoeveelheid energie, en de temperatuurstijging te meten.

Theorie¶

De soortelijke warmte kan bepaald worden aan de hand van de volgende functie.

Q = c m \Delta T

(1)

Hierbij is

$m$ de massa van het water in kg,
$c$ de soortelijke warmte van water in JK $^{-1}$ kg $^{-1}$ ,
$\Delta T$ het temperatuurverschil van het water in K,
$Q$ de energie in J.

Overigens is bekend dat de energie, $Q$ , gelijk is aan het volgende.

Q = Pt

(2)

Hierin is

$P$ het vermogen in W,
$t$ de tijd in s.

Met dit gegeven kan de functie voor de soortelijke warmte worden samengevoegd met de vergelijking voor de energie, waardoor de soortelijke warmte, $c$ , de enige onbekende variabel is.

Alles samen levert onderstaande functie.

Pt = c m \Delta T

(3)

Methode en materialen¶

Ontwerp¶

Een waterbad met bekende massa aan water wordt verwarmd met een elektrisch verwarmingselement dat een bekende hoeveelheid energie levert. De temperatuur van het water wordt gemeten met een temperatuursensor. Door de temperatuurstijging als functie van de tijd te meten kan de soortelijke warmte van water worden berekend.

Materialen¶

Hieronder staat de lijst van benodigde materialen bij deze proef:

Maatbeker
Weegschaal
Water
Elektrisch verwarmingselement ( $10 \mathrm{\Omega}$ , $10 \mathrm{W}$ )
Voedingsbron
Thermometer of temperatuursensor
Stopwatch of timer

Een schematische weergave van de opstelling

Procedure¶

Exercise 1

Beschrijf de procedure die nodig is om de soortelijke warmte van water te bepalen.
Geef jouw beschrijving van de procedure aan een ander team, zij verzamelen voor jou de data op basis van de gegevens.
Voer het experiment van een ander team uit op basis van hun beschrijving.
Analyseer de data die het andere groepje voor jou heeft verzameld.

Procedure:

Om te beginnen moet de opstelling klaar gezet worden. Hiervoor is het nodig om de maatbeter te vullen met 400 ml water. Daarbij is het verstandig om de tafel zo vrij mogelijk te hebben, aangezien er gewerkt wordt met water.

Vervolgens kan de temperatuursensor in het water geplaatst worden. Noteer om te beginnen de begintemperatuur, deze is nodig om straks het temperatuurverschil te bepalen.

Plaats vervolgens de weerstand in het water, het is hierbij belangrijk dat de temperatuursensor niet de weerstand aanraakt. Wanneer het is gelukt om de weerstand in het water te plaatsen, kan de bronspanning worden aangesloten, zodat het water verwarmd wordt. Neem hierbij een vermogen van 20 W. Zet aansluitend ook de roerder aan.

Meet vervolgens elke 10 seconde de temperatuur en noteer deze.

Na 24 metingen (oftewel 4 minuten), moet de bronspanning worden afgesloten.

Bepaal vervolgens het temperatuurverschil ( $\Delta T$ ) per meting. Het temperatuurverschil is gelijk aan de gemeten temperatuur per meting min de begintemperatuur.

Plot de $\Delta T$ tegen de tijd.

Voeg een curve-fit toe, met de volgende functie.

Pt = cm \Delta T

(4)

Bepaal met deze curve fit de soortelijke warmte van water.

Als alles is gelukt, ruim de opstelling netjes op.

Veiligheid¶

We maken gebruik van een $10 \mathrm{\Omega}$ , $10 \mathrm{W}$ weerstand. Deze wordt snel heet. De bronspanning mag dan ook alleen aan wanneer de weerstand in het water zit. Raak de weerstand niet aan tijdens het experiment. Omdat de weerstand in het water zit, kunnen we wel het elektrisch vermogen hoger zetten zonder dat de weerstand oververhit raakt. Het maximaal vermogen mag $40 \mathrm{W}$ zijn. Daarbij moet de roerder wel aanstaan om de warmte goed te verdelen.

Data analyse¶

Met de gemeten waarden van de temperatuur, is het mogelijk om het temperatuurverschil te bepalen per meting. Dit kan gedaan worden aan de hand van $\Delta T = T_m - T_0$ , waarin $\Delta T$ het temperatuurverschil is, $T_m$ de gemeten temperatuur van het water en $T_0$ de begintemperatuur van het water.

Aan de hand van onderstaande functie kan dan met de gemeten temperatuurverschillen en de tijd het vermogen berekent worden.

Pt = cm \Delta T

(5)

Echter, is het vermogen van de weerstand al bekend, waardoor de enige onbekende variabel in de vergelijking de soortelijke warmte van water is. Hierdoor is vervolgens een curvefit geconstrueert, zodat doormiddel van de least square methode de waarde voor de soortelijke warmte van water bepaald kan worden en de daarbij behorende onzekerheid.

Resultaten¶

#import necessary libraries
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import math
from scipy.optimize import curve_fit 

# Hier de data en de analyse

m = 0.2                                                                     # Massa water (kg)
P = 20                                                                      # Vermogen weerstand (W)
T_0 = 18.6                                                                  # Begin temperatuur water (graden Celcius)

t = np.linspace(10, 240, 24)                                                # Tijd (s)
T_m = np.array([18.8, 19.0, 19.1, 19.1, 19.2, 19.2, 19.2, 19.3, 
                19.5, 19.5, 19.5, 19.9, 20.4, 20.5, 20.6, 20.8, 
                20.9, 21.0, 21.1, 21.3, 21.4, 21.5, 21.6, 21.7])            # Gemeten temperatuur van het water (graden Celcius)

Delta_T = T_m - T_0                                                         # Temperatuurverschil (K)

# Definieren van de functie voor de curvefit
def DT(t, c_w):
    return (P * t) / (m * c_w)

# Curve fit
popt_DT, pcov_DT = curve_fit(DT, t, Delta_T, p0=(4180))

# Minimale en maximale waarden van de tijd bepalen
min_value_t = np.min(t)
max_value_t = np.max(t)

# 'x' en 'y' aanmaken voor de curvefit
x_DT = np.linspace(0.9*min_value_t, 1.1*max_value_t, 1000)
y_DT = DT(x_DT, *popt_DT)

# Maken van de grafiek
plt.figure()
plt.xlabel('$t$ (s)')
plt.ylabel('$T$ (K)')
plt.plot(x_DT, y_DT, 'r-', label='Curvefit')
plt.plot(t, Delta_T, 'b.', label='Data')
plt.legend()
plt.savefig("figures/CWater.png", dpi=450)
plt.show()

# Waarde van de soortelijke warmte van water volgens de proef
c_w = popt_DT[0]
u_c_w = np.sqrt(pcov_DT[0,0])

print('The c_w is (%.1f \u00B1 %.1f) J/kgK.' %(c_w, u_c_w))

Discussie en conclusie¶

De bepaalde soortelijke warmte van water, (7796.3 ± 173.2) J K $^{-1}$ kg $^{-1}$ , is niet overeenkomend met soortelijke warmte van water in de literatuur van 4180 J K $^{-1}$ kg $^{-1}$ .

Een van de mogelijke redenen waarom dit zo zou kunnen zijn, is wegens het feit dat de temperatuursensor traag van waarden veranderden. Volgens de geschreven procedure was het de bedoeling dat elke 10 seconde de temperatuur van het water bepaald zou worden, echter lijkt het erop dat de temperatuursensor dat moeilijk bijhield.

Daarnaast is er in de procedure beschreven om 24 metingen te doen, alleen hierdoor verwarmt het water maar enkele graden op, waardoor er minder goed een curve fit op gebaseerd kan worden.
Daarbij duurt het even voordat de weerstand opgewarmd is en dus het water kan opwarmen.
Kortom, er zouden in het vervolg meer metingen gedaan moeten worden, zodat het water de gelegenheid heeft om meer op te warmen.

Ten slotte ontsnapt er ook een deel van de warmte, aangezien de maatbeker met water niet is afgesloten en dus in contact staat met de omgevingstemperatuur. Dit betekent dat er een deel van de energie verloren gaat aan de omgeving, waar nu geen rekening mee gehouden is.