Bepaling van warmtecapaciteit van een onbekend materiaal

Introductie¶

Onbekende materialen kunnen geïdentificeerd worden door hun eigenschappen te meten. Een van deze eigenschappen is de warmtecapaciteit. In dit practicum gaan we de warmtecapaciteit van een onbekend materiaal bepalen door middel van een calorimeter experiment. Daarbij wordt een bepaalde massa van het materiaal naar een bekende temperatuur gebracht waarna het in een bekende hoeveelheid water met bekende temperatuur wordt geplaatst. Door de temperatuur van het water te meten na het mengen kan de warmtecapaciteit van het onbekende materiaal worden berekend.

Theorie¶

De soortelijke warmte $c$ van een materiaal is gedefinieerd als de hoeveelheid warmte $Q$ die nodig is om de temperatuur $T$ van een kilogram van het materiaal met één graad Celsius (of één Kelvin) te verhogen:

c = \frac{Q}{m \Delta T}

(1)

Waarbij $Q$ de hoeveelheid warmte in Joules is, $m$ de massa in kilogram is en $\Delta T$ de verandering in temperatuur is. Gegeven de wet van Black, die stelt dat de totale hoeveelheid warmte in een geïsoleerd systeem constant blijft, kunnen we de warmte die het onbekende materiaal verliest gelijkstellen aan de warmte die het water opneemt:

Q_{materiaal} = -Q_{water}

(2)

wanneer we de massa’s en de begintemperaturen van beide systemen kennen, maar slechts een van de twee soortelijke warmtes, kunnen we de onbekende soortelijke warmte berekenen. We combineren vergelijkingen (1) en (2) om de volgende vergelijking te krijgen:

T_e = \frac{c_w m_w T_{w,b}+c_m m_m T_{m,b}}{c_w m_w + c_m m_m}

(3)

Waarbij de subscripts $b$ en $e$ respectievelijk staan voor begintoestand en eindtoestand, $w$ voor water en $m$ voor het onbekende materiaal.

Bij metingen aan verschillende massa’s van het onbekende materiaal en vervolgens een least square fit aan bovenstaande vergelijking kunnen we een precieze waarde voor de soortelijke warmte van het onbekende materiaal bepalen. Dat is, wanneer de warmtecapaciteit van bijvoorbeeld de beker te verwaarlozen is.

Methode en materialen¶

Ontwerp¶

De bovenstaande theorie wordt gebruikt om de soortelijke warmte van een onbekend materiaal te bepalen. Het experiment bestaat uit het verwarmen van verschillende massa’s van het onbekende materiaal tot een bekende temperatuur, waarna het in een bekende hoeveelheid water met bekende temperatuur wordt geplaats. Door de temperatuur van het water te meten na het mengen kan de warmtecapaciteit van het onbekende materiaal worden berekend. Om de tijd voor het meten van meerdere materialen te reduceren, worden de data van de verschillende groepen in het lokaal samengevoegd. Van tevoren is afgesproken welke massa’s door welke groep worden gemeten, en hoeveel water er gebruikt wordt.

Materialen¶

Hieronder staat de lijst van benodigde materialen bij deze proef:

Calorimeter
Thermometer of temperatuursensor
Verwarmingsbron
Diverse massablokjes van onbekend materiaal
Weegschaal
Water
Maatcilinder of maatbeker

Figure 1:Een schematische weergave van de opstelling

Procedure¶

Bespreek wie welke massa’s van het onbekende materiaal gaat meten. Bespreek ook hoeveel water er gebruikt gaat worden. Bepaal de begintemperaturen. Hevel het aantal afgesproken massa’s in de maatbeker. Roer voorzicht zodat de temperatuur homogeen is. Noteer de hoogste gemeten temperatuur, dit is $T_e$ . Wissel de metingen uit met de andere groepen en voer de data-analyse uit.

Resultaten¶

# Importing Libraries
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math
from scipy.optimize import curve_fit 

# Metingen
m_m = np.array([0.0653, 0.0519, 0.0519, 0.0262 ])                            # Massa Materiaal (kg)

T_wb = np.array([21.3, 22.6, 23.8, 24.8 ])                                   # Begin Temperatuur Water (graden Celcius)
T_mb = np.array([70, 72.7, 72.7, 72.6 ])                                     # Begin Temperatuur Materiaal (graden Celcius)
T_we = np.array([22.9, 24.0, 24.9, 25.2  ])                                  # Eind Temperatuur Water (graden Celcius)

Delta_T = T_we - (T_wb)                                                      # Verschil Temperatuur Water (graden Celcius)

print(Delta_T)

#Parameters
c_w = 4180                                              # Soortelijke warmte van water (J/(Kkg))
m_w = 0.2                                               # Massa Water (kg) 

# Curve fit
def DT(m_m, c_m):
    return (((c_w * m_w * T_wb) + (c_m * m_m * T_mb)) / ((c_w * m_w) + (c_m * m_m))) - T_wb

popt_DT, pcov_DT = curve_fit(DT, m_m, Delta_T, p0=(1000))

min_value_m_m = np.min(m_m)
max_value_m_m = np.max(m_m)

x_DT = np.linspace(0.9*min_value_m_m, 1.1*max_value_m_m, 4)
y_DT = DT(x_DT, *popt_DT)

# Maken van de grafiek
plt.figure()
plt.xlabel('$m$ (kg)')
plt.ylabel('$T$ (K)')

plt.plot(x_DT, y_DT, 'r-', label='Curvefit')
plt.plot(m_m, Delta_T, 'b.', label='Data')
plt.legend()
plt.savefig("figures/Warmtecapaciteit.png", dpi=450)
plt.show()

c_m = popt_DT[0]
u_c_m = np.sqrt(pcov_DT[0,0])

print('The c_m is (%.1f \u00B1 %.1f) J/kgK.' %(c_m, u_c_m))

#Parameters
c_w = 4180                                              # Soortelijke warmte van water (J/(Kkg))
m_w = 0.2                                               # Massa Water (kg) 

# Curve fit
# To ensure that the linspace for the 'x-value' array can be up to 1000 points, the curve fit had to be split up like below
# Since T_wb and T_mb both were arrays with length 4 and thus not scalars it was not possible to diretly make a curve fit with more than 4 points
# To correct this, the curve fit function has been split into two, so that they are passed into the model explicitly
# One the same as above
# The other were only the first element varies
# T_wb and T_mb were interpolerated for plotting

def DT(m_m, c_m, T_wb, T_mb):
    return (((c_w * m_w * T_wb) + (c_m * m_m * T_mb))
            / ((c_w * m_w) + (c_m * m_m))) - T_wb

def DT_wrap(m_m, c_m):
    return DT(m_m, c_m, T_wb, T_mb)

popt_DTW, pcov_DTW = curve_fit(DT_wrap, m_m, Delta_T, p0=(1000))

min_value_m_m = np.min(m_m)
max_value_m_m = np.max(m_m)

x_DTW = np.linspace(0.9*min_value_m_m, 1.1*max_value_m_m, 4)

T_mb_interp = np.interp(x_DTW, m_m, T_mb)
T_wb_interp = np.interp(x_DTW, m_m, T_wb)

y_DTW = DT(x_DTW, popt_DTW[0], T_wb_interp, T_mb_interp)

# Maken van de grafiek
plt.figure()
plt.xlabel('$m$ (kg)')
plt.ylabel('$T$ (K)')

plt.plot(x_DTW, y_DTW, 'r-', label='Curvefit')
plt.plot(m_m, Delta_T, 'b.', label='Data')
plt.legend()
plt.savefig("figures/Warmtecapaciteit_2.png", dpi=450)
plt.show()

c_m_w = popt_DTW[0]
u_c_m_w = np.sqrt(pcov_DTW[0,0])

print('The c_m is (%.1f \u00B1 %.1f) J/kgK.' %(c_m_w, u_c_m_w))

Figure 2:Curve fit om de warmtecapaciteit van een onbekend materiaal te bepalen.

Discussie en conclusie¶

De bepaalde soortelijke warmte van het onbekende materiaal is (414.7 ± 30.2) J K $^{-1}$ kg $^{-1}$ .

Volgens literatuur (BiNaS : Noordhoff : Free Download, Borrow, And Streaming : Internet Archive, 2024) zou deze waarde van soortelijke warmte passend zijn bij kobalt als materiaal, aangezien Kobalt een soortelijke warmte heeft van 0.42 $\cdot$ 10 $^{3}$ J K $^{-1}$ kg $^{-1}$ .